Especial d'El Pais sobre astronomia

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dt., 20/01/2009 - 17:24 #1
rbosque

Especial d'El Pais sobre astronomia

Hola a tothom

Amb motiu de l'any internacional de l'astronomia, el diari El Pais, en la seva edició digital, té un especial sobre astronomia, que és de suposar que anirà actualitzant:

http://www.elpais.com/especial/astronomia/

Ramón

dg., 25/01/2009 - 18:04
David
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Re: Especial d'El Pais sobre astronomia

És interessant que un diari genèric dediqui especial atenció a la difusió de l'astronomia.
I sembla prou ben fet. Cal llegir-ho amb detall, però.
Respecte el test astronòmic, es podria fer servir com a exàmen d'ingrés per admetre nous socis :mrgreen:

dg., 19/07/2009 - 12:14
francisco rodri...
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Re: Especial d'El Pais sobre astronomia

Posible fotografía de exoplaneta en Beta Pictoris
Comunicado de Prensa ESO PR 42/08.

Continúa la cascada de fotografías directas de exoplanetas, esta vez a cargo del Observatorio Austral Europeo (ESO), en Chile.

Un equipo de astrónomos franceses que utilizó el Telescopio Muy Grande (VLT) de ESO ha descubierto un objeto localizado muy cerca de la estrella Beta Pictoris, y que aparentemente se encuentra dentro de su disco.

Con una distancia proyectada a la estrella de apenas 8 veces la existente entre la Tierra y el Sol, este objeto es muy probablemente el planeta gigante que se sospechaba que allí había a causa de la forma peculiar del disco y de las previamente observadas caídas de cometas hacia la estrella. Sería entonces la primera imagen de un planeta que se encuentra a una distancia de su estrella similar a la de Saturno con el Sol.
ESO_PR_Photo_/08

ESO PR Photo 42b/08 – Beta Pictoris vista en el infrarrojo.

Imagen compuesta de la zona que rodea a Beta Pictoris vista en infrarrojo. La parte exterior muestra la luz reflejada en el disco de polvo, observada en 1996 con ADONIS en el telescopio ESO de 3,6 mts; la parte interior es la observada con NACO en el VLT. El área corresponde a 0,44 arcosegundos del cielo, o sea el ángulo sostenido por una moneda de un euro vista a 10 kilómetros. Ambas partes fueron obtenidas con telescopios de ESO equipados con óptica adaptable.

© ESO/A.-M. Lagrange et al.

La caliente estrella Beta Pictoris es uno de los ejemplos mejor conocidos de estrellas rodeadas por un disco de “escombros”. Estos discos están compuestos por el polvo resultante de las colisiones entre cuerpos más grandes, tales como embriones planetarios o asteroides. Son una versión más grande del polvo zodiacal de nuestro sistema solar.

Este disco fue el primero en ser fotografiado (en fechas tan tempranas como 1984) y continúa siendo el sistema más estudiado. Observaciones anteriores mostraban una combadura o alabeo en el disco, un segundo disco inclinado y cometas que caían hacia la estrella. “Estos son signos indicadores indirectos que sugieren fuertemente la presencia de un planeta masivo ubicado a entre 5 y 10 veces la distancia media Tierra-Sol, con respecto a su estrella central”, dice la líder del equipo Anne-Marie Lagrange. “Sin embargo, el estudio de la región interior misma del disco, tan cerca de la refulgente estrella, es una tarea ímproba”.

En 2003 el equipo francés utilizó el instrumento NAOS-CONICA (o NACO [1]), montado en una de las Unidades Telescopio de 8,2 metros del Telescopio Muy Grande de ESO, para beneficiarse tanto de la alta calidad de imagen proporcionada por el sistema de óptica adaptable en las longitudes de onda del infrarrojo como de la buena dinámica ofrecida por el detecto, a los efectos del estudio de los alrededores inmediatos de Beta Pictoris.

Recientemente, un miembro del equipo analizó nuevamente los datos con un procedimiento diferente en búsqueda de trazas de algún compañero de la estrella. De hecho, las longitudes de onda del infrarrojo son muy aptas para tal trabajo.

“En este caso, el verdadero reto era identificar y sustraer tan precisamente como sea posible el brillante halo estelar”, explica Lagrange. “Pudimos lograrlo luego de una selección drástica y precisa de las mejores imágenes registradas durante nuestras observaciones”.

La experiencia probó ser muy provechosa, ya que los astrónomos pudieron distinguir un tenue resplandor puntual bien dentro del halo de la estrella. Para eliminar la posibilidad de que fuera algo creado por el telescopio y no un objeto real, se realizó toda una batería de comprobaciones y varios miembros del equipo, utilizando tres métodos diferentes, realizaron el análisis en forma independiente, siempre con el mismo resultado. Más aún, el objeto compañero también fue descubierto en otro conjunto de datos, fortaleciendo aún más la conclusión a la que arribó el equipo: el compañero es real.

“Nuestras observaciones apuntan a la presencia de un planeta gigante, unas 8 veces más masivo que Júpiter y con una distancia proyecta hasta su estrella de alrededor de 8 veces la distancia Tierra-Sol, es decir, aproximadamente igual a la distancia Saturno-Sol en nuestro sistema” [2], dice Lagrange.

“Sin embargo, todavía no podemos descartar definitivamente que el candidato a compañero pueda ser un objeto que esté en primer plano o en el fondo”, previene el co-autor Gael Chauvin. “Para eliminar esta pequeñísima posibilidad necesitaremos realizar nuevas observaciones que confirmen la naturaleza del descubrimiento”.

El equipo también escudriñó en los archivos del Telescopio Espacial Hubble, pero no pudo ver nada, “mientras que la mayoría de los posibles objetos de primer o segundo plano habrían sido detectados”, remarca otro miembro del equipo, David Ehrenrecich.

El hecho de que el candidato a compañero se encuentre en el plano del disco también implica fuertemente que está unido a la estrella y en su disco protoplanetario.

“Más aún, el candidato a compañero muestra exactamente la masa y la distancia a su estrella principal necesarias para explicar todas las propiedades del disco. Esto es claramente otro clavo en el féretro de la hipótesis de falsa alarma”, agrega Lagrange.

Cuando sea confirmado, este candidato a compañero será el planeta más cercano a su estrella que haya sido fotografiado hasta la fecha. En particular, estará ubicado dentro de las órbitas de los planetas exteriores del sistema solar. De hecho, ya han sido fotografiados varios otros candidatos planetarios, pero todos están localizados más lejos de su estrella principal; si se lo colocara en nuestro sistema solar, estaría cerca o un poco más allá de la órbita del planeta más lejano, Neptuno.

Los procesos de formación de estos planetas distantes son, probablemente, bastante diferentes de los de nuestro sistema solar y de Beta Pictoris.

“La fotografía directa de planetas extrasolares es necesaria para comprobar los varios modelos de formación y evolución de sistemas planetarios. Pero este tipo de observaciones recién está comenzando. Limitadas actualmente a los planetas gigantes que orbitan alrededor de estrellas jóvenes, con los nuevos instrumentos del VLT y la próxima generación de telescopios ópticos, se extenderán en el futuro para la detección de planetas más fríos y viejos”, concluye el miembro del equipo Daniel Rouan.

Con apenas 12 millones de años de edad, la “estrella bebé” Beta Pictoris se encuentra localizada a unos 70 años-luz de nosotros, en la dirección de la constelación de Pictor (el Pintor).

NOTAS

[1] NACO es uno de los instrumentos del VLT de ESO que hacen uso de la óptica adaptable (AO = Adaptive Optics). Estos sistemas trabajan por medio de un espejo deformable controlado por computadora que contrarresta la distorsión de la imagen inducida por la turbulencia atmosférica (véase, en inglés: ESO Press Release 25/01).

[2] Los astrónomos únicamente pueden ver la separación proyectada entre la estrella y el planeta (es decir, la separación proyectada en el plano del cielo).

MÁS INFORMACIÓN

"A probable giant planet imaged in the β Pictoris disk. VLT/NACO Deep L-band imaging", por A.-M. Lagrange et al., 2008, Carta al Editor de Astronomy and Astrophysics, en prensa (un archivo PDF puede ser descargado aquí).

El equipo está compuesto por A.-M. Lagrange, G. Chauvin, D. Ehrenreich, y D. Mouillet (Laboratoire d'Astrophysique de l'Observatoire de Grenoble, Francia), D. Gratadour, G. Rousset, D. Rouan y E. Gendron (LESIA, Observatoire de Paris, Francia), T. Fusco, y L. Mugnier (Office National d'Etudes et de Recherches Aérospatiales, Chatillon, Francia), F. Allard (Centre de Recherche Astronomique de Lyon, Francia), y el Consorcio NAOS.

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Últimos comunicados de prensa de ESO publicados en este blog:
- ESO PR 41/08: Observan materia desgajada por agujero negro.
- ESO PR 40/08: APEX examina una guardería estelar.
- ESO PR 39/08: Un mar de galaxias distantes.
- ESO PR 37/08: El enorme corazón de una nube color vino.
- ESO PR 36/08: Agujeros negros variables.

VLT

VLT de ESO en Paranal, Chile.

© ESO

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dc., 22/07/2009 - 17:29
francisco rodri...
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Re: Especial d'El Pais sobre astronomia

Fecha original : 1999-10-01
Traducción Astroseti : 2006-07-10

Traductor : Javier de la Guardia
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ARTICULOS
¿Qué sabemos sobre las matemáticas griegas?
Hay dos artículos separados en este documento: '¿Qué sabemos sobre las matemáticas griegas?' y '¿Qué sabemos sobre los matemáticos?'. Existe la creencia común de que la primera pregunta es más sencilla de contestar. Quizás todo lo que necesitemos para responderla sea leer los tratados
matemáticos que escribieron los griegos. Podríamos pensar, ingenuamente, que aunque algunos de los textos originales se han perdido, nos quedan los suficientes para obtener un excelente retrato de las matemáticas griegas.

La realidad, sin embargo, nunca es tan sencilla, e ilustraremos el camino por el que nos han llegado los textos matemáticos griegos echando un vistazo en primer lugar al ejemplo quizás más famoso de todos, los Elementos de Euclides. Cuándo leemos Los trece libros de los Elementos de Euclides de Heath, ¿estamos leyendo realmente una traducción de las palabras que Euclides escribió en el año 300 a. de C.? Para contestar a esta pregunta tendremos que examinar la forma en la que los Elementos han llegado hasta nosotros, y, de forma más general, cómo los escritos de los antiguos matemáticos griegos han sido conservados.

De forma bastante sorprendente, sobreviven textos originales de matemáticas desde los tiempos de los Babilonios. Esta cultura empleaba tabletas de arcilla, usando escritura cuneiforme. Los símbolos se marcaban sobre material con el extremo afilado de un punzón y por eso poseen ese aspecto de cuñas (y de ahí el nombre cuneiforme). Han sobrevivido muchas tabletas de alrededor del año 1.700 a. de C. y aun podemos leer los textos originales. Los griegos, sin embargo, usaban rollos de papiro sobre los que escribían sus trabajos.

El papiro procede de una planta similar al pasto que crece en el delta del Nilo y ha sido usada como material de escritura desde tiempos tan remotos como el año 3000 a. C. Los griegos comenzaron a usarla a partir del 450 a. C.; antes de eso pasaban de forma oral sus conocimientos a sus estudiantes. Cuando querían escribir algo que no fuera permanente utilizaban tabletas de madera o de cera. A veces algunos de los escritos de ese período han sobrevivido escritos sobre óstracas, es decir, fragmentos de cerámica. Se asume que la primera copia de los Elementos se escribió en un rollo de papiro, que si hubiera sido típico, tendría unos 10 metros de longitud. Estos rollos resultaban bastante frágiles y se rompían con facilidad, por lo que si eran muy usados se dañaban con facilidad. Incluso si se dejaban sin tocar, enseguida se deterioraban excepto en condiciones ambientales muy secas como las que se daban en Egipto. La única forma de preservar aquellos trabajos era copiarlos repetidas veces y como era una tarea tan tediosa sólo se hacía con los textos considerados de mayor importancia.

Es fácil comprobar, por otra parte, el por qué no han sobrevivido textos de los matemáticos griegos anteriores a los Elementos de Euclides. Los Elementos era considerado un trabajo tan excelente que transformó en obsoletos a los textos más antiguos, y nadie copiaba estos textos antiguos en nuevos rollos de papiro para conservarlos sólo para propósitos históricos. Los Elementos fue copiado de forma continuada, pero hay dos graves problemas que ocurren cuando se copian trabajos como este. En primer lugar podían ser copiados por alguien que no tuviese el necesario conocimiento técnico de la materia. En ese caso se habrían cometido muchos errores en el proceso (aunque como veremos luego esto puede considerarse a veces una ventaja para los historiadores). Por otra parte la copia podía ser realizada por alguien con un considerable bagaje intelectual sobre el tema que sabía de posteriores desarrollos y que podría haber añadido material que no existía en el texto original.

Desde el 300 a. C. hasta que se desarrolló el códice como tipo de libro, los Elementos debieron copiarse muchas veces. El códice consistía en hojas planas de material, encuadernadas y cosidas para formar algo que se parecía remotamente a un libro. Los primeros códices aparecieron alrededor del siglo II pero no se convirtieron en el principal vehículo de transmisión para los trabajos hasta el siglo IV.

No sólo se desarrollaban nuevos materiales sobre los que escribir sino que también los propios textos cambiaban. Sobre los rollos de papiro se usaban letras mayúsculas sin espacio entre las palabras. Esto requería mucho material para escribir relativamente poco y además resultaba difícil de leer. Las letras minúsculas, desarrolladas alrededor del año 800, consistían en tipografías más pequeñas mucho más compactas y fáciles de leer. Comenzó un proceso de cambio entre las letras mayúsculas sin espacio hasta las minúsculas y muchos de los trabajos que han sobrevivido lo han hecho porque fueron copiados en ese nuevo formato.

Así llegamos hasta la copia conocida más completa de los 'Elementos' escrita en minúscula en el año 888. Aretas, obispo de Cesárea Capadocia (en la actualidad la parte central de Turquía), formó una biblioteca de trabajos religiosos y matemáticos, y uno de los ocho trabajos que sobrevivieron de esa biblioteca fue los Elementos copiados por el escriba Estéfano para Aretas. Le costó 14 monedas de oro, una quinta parte de lo que un escriba ganaría en un año. Vamos a llamar a ese manuscrito de los Elementos, E888 para referenciarlo en las líneas siguientes.

Antes debemos hacer unas puntualizaciones:

1. El año 888 parece muy lejano pero realmente sólo han pasado algo más de 1100 años desde entonces, mientras que los Elementos se escribieron 1200 años antes de aquella fecha. La copia más antigua del texto es más moderna en relación a la época actual que la copia en relación al texto original de Euclides.
2. Aunque E888 es el texto completo más antiguo que conocemos, existen también fragmentos (ver por ejemplo [8] y [9]). Seis fragmentos especialmente antiguos se encontraron en 1906 en la isla Elefantina. Los expertos argumentan si fueron escritos por alguien que estudiaba los Elementos o son un libro que Euclides incorporó en su texto.
3. Algunos textos que fueron escritos posteriormente a E888, no obstante, están basados en una versión anterior de los Elementos que la de E888.
4. El manuscrito E888, como es típico en ese tipo de textos, contiene anotaciones que fueron hechas en una copia anterior a la que usó Estéfano y copiadas por él sobre E888. También contiene anotaciones realizadas por lectores posteriores del texto.
5. La mayor parte de los manuscritos de los Elementos que han sobrevivido están basados en una versión como comentarios y adiciones creada por Zenón de Alejandría (probablemente con la ayuda de su hija Hipatia) en el siglo IV. E888 está basado en el trabajo de Zenón.
6. Las primeras versiones de los Elementos en aparecer en Europa durante la Edad Media no fueron traducciones del griego al latín. En aquella época no se conocían los textos griegos, las únicas versiones que existían eran traducciones al árabe.
7. Merece la pena recordar que la razón a menudo dada para explicar que no existan textos anteriores es la quema de la biblioteca de Alejandría por los árabes en el año 642. Sin embargo no parece que esa quema ocurriera realmente, ver por ejemplo [1].

De hecho, la primera traducción al árabe la hizo al-Hajjaj en los primeros años del siglo IX. Otra traducción por Hunayn fue revisada por Thabit ibn Qurra también en el siglo IX. Gherard de Cremona tradujo la versión de Thabit al latín en el siglo XII. Existe una traducción anterior de Abelardo de Bath de alrededor del año 1120. Estas traducciones del árabe tienen su origen en la de Zenón de Alejandría.

Las relaciones entre las diferentes versiones de un gran número de manuscritos matemáticos griegos fueron analizadas brillantemente por el estudiante danés J. L. Heiberg hacia finales del siglo XIX. Sería imposible hacer justicia al trabajo que involucraba tamaña tarea, pero al menos nos indica la forma en la que se hizo. Si comparamos dos manuscritos A y B, y encontramos los errores de A que también están presentes en B pero hay errores en B que no aparecen en A, es razonable deducir que B fue copiado de A o transcrito de una copia de A. Si vemos que A y B tienen errores en común pero cada uno tiene errores propios es probable que A y B hayan sido copiados de C. Si no ha sobrevivido ningún manuscrito de C, éste podría ser reconstruido a partir de A y B con cierto grado de fiabilidad.

Utilizando métodos de este tipo, Heiberg demostró que todos excepto uno de los manuscritos de los 'Elementos' derivaban de la edición de Zenón de Alejandría. La única excepción estaba basada en una versión anterior del texto a la que Zenón de Alejandría usó, pero a su vez posterior a la que Zenón de Alejandría utilizó para hacer su copia. Entre 1883 y 1888 Heiberg publicó una edición de los Elementos tan cercana al original como pudo (ver [5]). La edición de Heath de 1908 ([4] es una edición posterior de este trabajo) se basó en la edición de Heiberg y contiene una descripción de los diferentes manuscritos supervivientes.

Sólo hemos dado una breve indicación de la forma en la que los Elementos han llegado hasta nosotros. En [4] y [5] hay una descripción más detallada. Vayamos ahora a analizar los trabajos de quizás el más grande los matemáticos griegos: Arquímedes.

Guillermo de Moerbeke (1215 - 1286) fue arzobispo de Corinto y un estudioso de los clásicos cuyas traducciones al latín de los clásicos griegos jugaron un papel muy importante en la transmisión del conocimiento griego para la Europa medieval. Poseía dos manuscritos griegos de los trabajos de Arquímedes e hizo sus traducciones al latín partiendo de ambos. El primero de los manuscritos se perdió y no ha sido visto desde el año 1311, probablemente fue destruido. El segundo sobrevivió más tiempo y desapareció alrededor del siglo XVI. En los años entre los que Guillermo deMoerbeke hizo sus traducciones y el momento de su desaparición, este segundo manuscrito fue copiado varias veces y algunas de esas copias han sobrevivido. Hasta 1899 Heiberg no encontró textos de los trabajos de Arquímedes que no estuvieran basados en las traducciones latinas de Guillermo de Moerbeke o copiadas del segundo manuscrito griego que usó en la traducción.

En 1899 sucedió un evento remarcable en nuestro conocimiento de los trabajos de Arquímedes. Se encontró un palimpsesto de Arquímedes en el catálogo de 890 trabajos de la biblioteca del Metoquión del Sagrado Sepulcro de Estambul. En 1906 Heiberg pudo examinar ese palimpsesto. ¿Qué examinó exactamente? Un palimpsesto es un texto que ha sido borrado para escribir otro sobre él. El texto que queda debajo, en este caso trabajos de Arquímedes, se dice que esté en 'palimpsesto'. Las dos razones principales para hacer esto era el coste, es más barato reutilizar un antiguo pergamino que comprar uno nuevo, o en ocasiones el motivo fue destruir deliberadamente un texto griego, ya que se consideraba por algunos cristianos como un acto santo el destruir un escrito pagano y sustituirlo por uno cristiano.

El palimpsesto de Arquímedes había sido copiado en el siglo X por un monje de un monasterio ortodoxo griego de Constantinopla. En el siglo XII el pergamino fue borrado y se escribieron sobre él textos religiosos. Originalmente las páginas eran de 30 × 20 cm pero cuando se reutilizaron se doblaron por la mitad para hacer un libro de 174 páginas y de 20 × 15 cm. Por supuesto esto implicó escribir el nuevo texto en un ángulo recto respecto al de Arquímedes y, como se encuadernó como un libro, parte del trabajo de Arquímedes se encontraba en el centro del 'nuevo' libro del siglo XII. Para hacer todavía más difícil el trabajo de Heiberg, las páginas del texto griego se habían utilizado en un orden arbitrario para hacer el nuevo libro. Sin embargo, Heiberg tuvo la destreza necesaria para solucionar todos los problemas.

¿Qué encontró Heiberg? El palimpsesto contenía cuatro trabajos de Arquímedes que ya se conocían, pero las versiones eran independientes de los dos manuscritos perdidos usados por Guillermo de Moerbeke en sus traducciones latinas. Fue un descubrimiento muy importante para los estudiosos que deseaban profundizar en los contenidos originales del trabajo de Arquímedes. Y todavía mejor, el palimpsesto también contenía una copia de Sobre los cuerpos flotantes que hasta el momento tan sólo se conocía gracias a sus traducciones al latín. Lo mejor de todo, sin embargo, fue el hecho de que el trabajo de Arquímedes encontrado en el palimpsesto estaba en el lenguaje original y no se conocía ninguna copia directa anterior al trabajo de Heiberg sobre ella. Era el extremadamente importante El Método de teoremas mecánicos que describimos en la biografía de Arquímedes.

El palimpsesto de <a href="http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3499">Arquímedes</a>
El palimpsesto de Arquímedes
Heiberg publicó su reconstrucción de los trabajos de Arquímedes encontrados en el palimpsesto mientras éste permanecía en el monasterio en Estambul. Sin embargo antes de completar la publicación de la nueva edición de Heiberg [6] sobre los trabajos de Arquímedes incorporando estos nuevos descubrimientos, la guerra estalló en la zona junto con el resto de Europa. Durante la Primera Guerra Mundial, los aliados planearon la partición del imperio Otomano, pero Mustafa Kemal, más tarde conocido como Atatürk, tenía otra idea. Atatürk se enfrentó a los levantamientos locales, las fuerzas otomanas opuestas a él y a las fuerzas armadas griegas. Aunque Turquía había sido declarada nación soberana en enero de 1921, los ejércitos griegos estuvieron a punto de llegar hasta Ankara. La supervivencia de la biblioteca del Metoquión del Sagrado Sepulcro de Estambul no podía garantizarse durante el conflicto, y los líderes de la iglesia ortodoxa griega solicitaron que los libros de la biblioteca se enviaran a la Biblioteca Nacional griega para que estuvieran seguros. De los 890 trabajos tan sólo 823 llegaron a Grecia y el palimpsesto de Arquímedes no estaba entre ellos.

No se sabe qué ocurrió exactamente con el palimpsesto de Arquímedes. Terminó, según parece, en las manos de un desconocido coleccionista francés de los años 20 mientras era declarado oficialmente perdido y la mayor parte de la gente asumía que había sido destruido. El coleccionista francés puede haberlo vendido muy recientemente pero lo que sabemos con certeza es que el palimpsesto apareció en una subasta en la casa Christie's de Nueva York en 1998 donde fue adquirido por un comprador anónimo. Se mostró con la parte central rota y abierta para mostrar el texto original examinado por Heiberg. Fue comprado por 2 millones de dólares el 29 de octubre de 1998 aunque el nuevo propietario parece que permitirá que se examine para fines académicos.

Quedan por resolver varios misterios sobre el palimpsesto además de quién es el actual propietario:

* ¿En 1922 fue vendido o robado?
* ¿Quién fue su propietario entre 1922 y 1998?
* El palimpsesto parecía tener un cierto número de iconos cuando se mostró en Christie's en Nueva York en 1998, sin embargo Heiberg no había mencionado la existencia de ninguno de ellos. ¿Fueron añadidos por uno de sus propietarios con la intención de aumentar su valor?
* Los diagramas vistos en la versión de Sobre los cuerpos flotantes en el palimpsesto son diferentes de los de la traducción de Guillermo de Moerbeke. Y también son diferentes de los que aparecen en la versión de Heiberg de Sobre los cuerpos flotantes en [6] que tiene el texto del palimpsesto. ¿De dónde sacó Heiberg estos diagramas si no son originarios del palimpsesto?

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía

1. A J Butler, The Arab conquest of Egypt and the last thirty years of the Roman Dominion (Oxford, 1902 reprinted 1978).
2. D H Fowler, The mathematics of Plato's Academy : A new reconstruction (New York, 1990).
3. T L Heath, A history of Greek mathematics I, II (Oxford, 1931).
4. T L Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements (3 Volumes) (New York, 1956).
5. J L Heiberg, H Menge and M Curtze (eds.), Euclid Opera Omnia (9 Vols.) (Leipzig, 1883-1916).
6. J L Heiberg (ed.), Archimedes Opera omnia cum commentariis Eutocii (Leipzig, 1910-15, reprinted 1972).
7. J Gray, Sale of the century?, The Mathematical Intelligencer 21 (3) (1999), 12-15.
8. J L Heiberg, Quelques papyrus traitant de mathématique, Proc. Danish Acad. Sci. 2 (1900), 147-171.
9. J L Heiberg, Paralipomena zu Euklid, Hermes 39 (1930), 46-74; 161-201; 321-356.